Question

“

3

1 a + 1 b + 1 c

”称为a，b，c三个正实数的“调和平均数”，若正数x，y满足“x，y，xy的调和平均数为3”，则x+2y的最小值是（　　）

• A、3
• B、5
• C、7
• D、8

Answer 1

考点：基本不等式

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由调和平均数的定义，结合已知得到x=

y+1

y-1

，再由x＞0得到y＞1，把x=

y+1

y-1

代入x+2y，整理后利用基本不等式求最值．

解答： 解：由“调和平均数”定义知，
x，y，xy的调和平均数为

3

1 x + 1 y + 1 xy

=3，
整理得：x+y+1=xy，x=

y+1

y-1

，
∵x=

y+1

y-1

＞0，
∴y＞1．
则x+2y=

y+1

y-1

+2y=

y+1+2y2-2y

y-1

=

2y2-y+1

y-1

=

2(y-1)2+3(y-1)+2

y-1

=2(y-1)+

2

y-1

+3≥2

2(y-1)• 2 y-1

+3=7．
当且仅当2（y-1）=

2

y-1

，即y=2时上式等号成立．
∴x+2y的最小值是7．
故选：C．

点评：本题考查了基本不等式求最值，在利用调和平均数的定义结合已知得到x、y的关系后，关键在于整理变形，使得要求最小值的式子能利用基本不等式求解，是中档题．