题目内容

如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4，BC=1，BE=3，CF=4．
（1）求 $数学公式$ 和点G的坐标；
（2）求GE与平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求点C到截面AEFG的距离．

解：（1）由图可知：A（1，0，0），B（1，4，0），E（1，4，3），F（0，4，4）
∴ $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$ ，设G（0，0，z），
则（-1，0，z）=（-1，0，1）
∴z=1，∴G（0，0，1）
（2）平面ABCD的法向量 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，
设GE与平面ABCD成角为θ，则sinθ= $\text{[math]}$
（3）设 $\text{[math]}$ ⊥面AEFG， $\text{[math]}$ =（x₀，y₀，z₀）
∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ =（-1，0，1）， $\text{[math]}$ =（0，4，3）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
取z₀=4，则 $\text{[math]}$ =（4，-3，4）
∵ $\text{[math]}$ =（0，0，4）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
即点C到截面AEFG的距离为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）用坐标表示点，进而可求求 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ ，可求点G的坐标；
（2）求出平面ABCD的法向量，进而向量的夹角公式，可求GE与平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求出平面AEFG的法向量，再利用点到面的距离公式，即可求得点C到截面AEFG的距离．
点评：本题重点考查利用向量知识解决立体几何问题，考查线面角，考查点到面的距离，求出平面的法向量是解题的关键．