题目内容
如图22，P是△ABC所在平面外的一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.
图22
（1）求证：平面ABC∥平面A′B′C′；
（2）求△A′B′C′与△ABC的面积之比.
证明：（1）连接PA′、PB′、PC′并延长交BC、AC、AB于D、E、F，连接DE、EF、DF.
∵A′、C′分别是△PBC、△PAB的重心,
∴PA′＝
PD，PC′＝
PF.
∴A′C′∥DF.∵A′C′
平面ABC，DF
平面ABC,
∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC.
又A′C′∩A′B′=A′，A′C′、A′B′
平面A′B′C′,∴平面ABC∥平面A′B′C′.
（2）由（1）知A′C′
DF，又DF
AC，∴A′C′
AC.
同理,A′B′
AB，B′C′
BC.∴△A′B′C′∽△ABC.
∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9.
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