Question

（2013•浙江模拟）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点A（0，-1）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果过点（0，

3

5

）的直线与椭圆交于M，N两点（M，N点与A点不重合），求

AM

•

AN

的值；当△AMN为等腰直角三角形时，求直线MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆所过点A可求得b值，由离心率及a²=b²+c²可求得a值，从而得椭圆方程；
（Ⅱ）①易判断直线MN存在斜率，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的方程为y=kx+

3

5

，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理、向量的数量积运算即可求得

AM

•

AN

的值；②由①知：∠MAN=90°，设MN的中点为P，由△AMN为等腰直角三角形得AP⊥MN，由中点坐标公式可得P点坐标，分情况讨论：若k=0易求此时直线MN方程；若k≠0，则kAP=-

1

k

，由斜率公式可得k的方程，解出得k，根据点斜式可求得直线MN方程，综上可得答案；

解答：解：（I）因为椭圆经过点A（0，-1），所以b=1，
又e=

c

a

=

a2-1

a

=

3

2

，解得a=2，
所以椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（II）①若过点（0，

3

5

）的直线的斜率不存在，此时M，N两点中有一个点与A点重合，不满足题目条件，
所以直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+

3

5

，
把y=kx+

3

5

代入椭圆方程得（1+4k²）x²+

24

5

kx-

64

25

=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

24k

5(1+4k2)

，x1•x2=-

64

25(1+4k2)

，
y1+y2=k(x1+x2)+

6

5

=

6

5(1+4k2)

，y1•y2=k2x1•x2+

3

5

k(x1+x2)+

9

25

=

-100k2+9

25(1+4k2)

，
因为A（0，-1），
所以

AM

•

AN

=（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
=-

64

25(1+4k2)

+

-100k2+9

25(1+4k2)

+

6

5(1+4k2)

+1=0；
②由①知：∠MAN=90°，如果△AMN为等腰直角三角形，设MN的中点为P，则AP⊥MN，且P(-

12k

5(1+4k2)

，

3

5(1+4k2)

)，
若k=0，则P（0，

3

5

），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=

3

5

；
若k≠0，则kAP=-

20k2+8

12k

=-

1

k

，解得k=±

5

5

，
所以直线MN的方程为y=±

5

5

x+

3

5

，即

5

x-5y+3=0或

5

x+5y-3=0．
综上所述，直线MN的方程为y=

3

5

或

5

x-5y+3=0或

5

x+5y-3=0．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程及直线与椭圆位置关系，考查向量的数量积运算，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，难度较大．