Question

设是各项都为正数的等比数列, 是等差数列,且，
(1)求,的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：；
(3)若均为正整数,且记所有可能乘积的和，求证：．

Answer 1

（1） （2）证法一：放缩法；
（2）证法二： 应用
（3）证法一：错位相减法；证法二：用数学归纳法证明。

试题分析：（1）设的公比为的公差为，则     2分
解得所以        5分
（2）证法一：由题意得                 6分
                8分
所以         9分
（2）证法二：由题意得              6分
，当时
且也成立，               8分
所以              9分
（3）证法一：由题意
  11分
令
以上两式相减得 13分
又，所以             14分
证法二：用数学归纳法证明。
（1）当时，所以结论成立。       10分
（2）假设当时结论成立，即。       11分
当时，
，所以当时也成立               13分
综合（1）、（2）知对任意都成立           14分
点评：典型题，本题综合性较强，处理的方法多样。涉及数列不等式的证明问题，提供了“错位相减求和、放缩、证明”和“数学归纳法”等证明方法，能拓宽学生的视野。