Question

椭圆=1以F₁（-2，0）和F₂（2，0）为焦点，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原点）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由设条件知，由此能导出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组，整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，由∠AOB=90°，知x₁x₂+y₁y₂=0，从而解得b=．直线方程为y=x，再由弦长公式和点到直线的距离公式能够求出弦长AB和△AOB的面积．
解答：解：（Ⅰ）由题设条件知，
∴a²=8，b²=4，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线方程为y=x+b，联立方程组，
整理，得3x²+4bx+2b²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∵∠AOB=90°，∴OA²+OB²=AB²，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²，
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
∴，解得b=．
∴直线方程为y=x．
，
∴
=．
∵O到直线y=x的距离为，
∴△AOB的面积==．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意弦长公式和点到直线的距离公式的合理运用．