Question

已知椭圆C以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，且离心率e=

2

2

（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过M(0 ， 

2

)点斜率为k的直线l₁与椭圆C有两个不同交点P、Q，求k的范围
（Ⅲ）设椭圆C与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在直线l₁，满足（Ⅱ）中的条件且使得向量

OP

+

OQ

与

AB

垂直？如果存在，写出l₁的方程；如果不存在，请说明理由

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c由题意可得c，根据离心率求得a，进而可得b，椭圆的方程可得．
（Ⅱ）通过点斜式设出直线l₁的方程，与椭圆方程联立消去y，通过判别式大于0求得k的范围
（Ⅲ）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是（*）的二根，根据韦达定理可得求得x₁+x₂和y₁+y₂，进而可表示出

OP

+

OQ

，根据A，B坐标求得

AB

，若(

OP

+

OQ

)⊥

AB

，需(

OP

+

OQ

)•

AB

=0求得的k不符合（2）中的k的范围，进而可判断不存在满足题设条件的l₁．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的半长轴长、半短轴长、半焦距长分别为a、b、c
由题设知：c=1
由e=

c

a

=

1

a

=

1

2

，得a=

2

，
则b=1
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）过M(0 ， 

2

)点斜率为k的直线l1：y-

2

=kx
即l1：y=kx+

2

与椭圆C方程联立消y得（2k²+1）x²+4

2

x+2=0（*）
由l₁与椭圆C有两个不同交点知
其△=32k²-8（2k²+1）＞0得k＜-

2

2

或k＞

2

2

∴k的范围是(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．
（Ⅲ）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁、x₂是（*）的二根
则x1+x2=-

4 2 k

2k2+1

，则y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2

2

=

2 2

2k2+1

则

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)=(-

4 2 k

2k2+1

 ， 

2 2

2k2+1

)
由题设知A(

2

 ， 0) 、B(0 ， 1)，∴

AB

=(-

2

 ， 1)
若(

OP

+

OQ

)⊥

AB

，须(

OP

+

OQ

)•

AB

=

8k

2k2+1

+

2 2

2k2+1

=0
得k=-

2

4

∉(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)
∴不存在满足题设条件的l₁．

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当设直线方程的时候要对斜率存不存两种情况讨论，最后还要看求得的k是否符合题意．