Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，能否在此椭圆位于y轴左侧的部分上找到一点M，使它到左准线的距离为它到两焦点F₁，F₂距离的等差中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由．

Answer 1

分析：过点M作左准线的垂线MA交左准线于A，由M点到左准线的距离为它到两焦点F₁，F₂距离的等差中项知2|MA|=|MF₁|+|MF₂|，此结合题设条件能够推导出|MA|=2，从而导出M点的坐标．

解答：解：在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1位于y轴左侧的部分上有一点M，它到左准线的距离为它到两焦点F₁，F₂距离的等差中项．
过点M作左准线的垂线MA交左准线于A，则2|MA|=|MF₁|+|MF₂|．
∵a=2，c=1，e=

1

2

，
∴2|MF₁|=|MA|+2-|MF₁|，
∴3|MF₁|=|MA|+2，
∴3e=1+

1

|MA|

，
∴

1

|MA|

=

1

2

∴|MA|=2．
∵点A在左准线x=-4上，
∴M点的横坐标x₀=-4+2=-2．
把x₀=-2代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1得y₀=0，∴M（-2，0）．
故存在点M，其坐标是M（-2，0）．

点评：本题考查椭圆的基础知识，解题时注意挖掘隐含条件．