Question

曲线与直线y=k（x-1）+5有两个不同交点时，实数k的取值范围是________．

Answer 1

分析：由题意可得，曲线表示一个半圆，直线过定点M（0，5），先求出切线MD、ME的斜率，再求出MA、MB的斜率，数形结合可得曲线与半圆有两个不同交点时，实数k的取值范围．
解答：解：曲线，即 （x-1）²+（y-2）²=4，（y≥2），表示一个半圆．
直线y=k（x-1）+5=kx+5-k 过定点M（1，5），如图所示：A（-1，2）、B（3，2）．
当直线和半圆相切时，则圆心C（1，2）到直线kx-y+5-k=0的距离等于半径，即 =2，
解得 k=±，即切线MA的斜率为，切线MB的斜率为-．
由于MA的斜率为=，MB的斜率等于 =-，
数形结合可得，当直线和半圆有两个不同交点时，实数k的取值范围是 ，
故答案为 ．
点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，直线过定点问题，直线的斜率公式的应用，属于中档题．