Question

【题目】已知四棱锥中，底面为矩形， 底面， ，

为中点.

（Ⅰ）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；

（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）设为中点，利用三角形中位线定理及其线面平行的判定定理可得截面如图所示；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设在线段上存在一点，求出面的法向量，利用可得解；（Ⅲ）求出平面的法向量，求出法向量的夹角即可.

试题解析：（Ⅰ）解：作PB的中点N，连接MN，如图，

（在图中画出）因此，N为PB的中点.

（Ⅱ）因为四棱锥中，底面为矩形， 底面，以A为坐标原点，以直线AB,AD,AP所在直线建立空间直角坐标系如图所示：则

设在线段上存在一点，则

设直线与平面所成角为，平面的法向量为，

则

即令，则

则，所以

所以在线段上存在中点，

使得直线与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）设平面的法向量，则

令，则，所以

所以

所以二面角的平面角的余弦值为.