Question

如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E为AB上的一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD中点F，且AF∥平面PEC．

(1)确定点E的位置；

(2)若异面直线PE、CD成60°角，求证：平面PEC⊥平面AECD；

(3)在(2)的条件下求点F到平面PEC的距离．

第19题图

Answer 1

答案：(1)设平面AEF交直线PC于M，因为AF∥平面PEC，所以AF∥EM，

又因为AE∥平面PDC，所以AE∥FM，

因为F是PD中点，所以M是PC中点，AE=FM=CD，因此E是AB的中点．

第19题图

(2)取CE中点K，连接PK、BK，则PK=BK=a，

若∠PEB=120°，则PB=大于PK与BK之和，这不可能．

所以∠PEB=60°，∴PB=a，∴△PKB为直角三角形

∴PK⊥BK，又∵PK⊥EC，∴PK⊥平面AECD

∴平面PEC⊥平面AECD．

(3)因为点F到平面PEC的距离等于点D到平面PEC的距离的一半，易证DE⊥平面PEC，DE=a

∴点F到平面PEC的距离为．