Question

设f(x)=

e|x|-sinx+1

e|x|+1

在[-m，m]（m＞0）上的最大值为p，最小值为q，则p+q=

2

．

Answer 1

分析：令g（x）=f（x）-1，易判断g（x）为奇函数，利用奇函数的性质可求得g（x）最大值与最小值的和，从而可得f（x）的最大值与最小值的和．

解答：解：f（x）=1-

sinx

e|x|+1

，令g（x）=f（x）-1=-

sinx

e|x|+1

，x∈[-m，m]（m＞0），
g（-x）=-

sin(-x)

e|x|+1

=

sinx

e|x|+1

=-g（x），所以g（x）为奇函数．
当x∈[-m，m]时，设g（x）_max=g（x₀），即[f（x）-1]_max=g（x₀），所以f（x）_max=1+g（x₀）；
又g（x）是奇函数，所以g（x）_min=-g（x₀），即[f（x）-1]_min=-g（x₀），所以f（x）_min=1-g（x₀），
所以p+q=[1+g（x₀）]+[1-g（x₀）]=2．
故答案为：2．

点评：本题考查了闭区间上函数的最值、函数的奇偶性，解决本题的关键是根据函数特点恰当构造函数，充分利用函数性质