Question

（2010•广东模拟）如图，PO⊥ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC=CD=BO=PO，EA=AO=

1

2

CD
（1）求证：BC⊥平面ABPE；
（2）直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接DO，通过BC⊥AB，PO⊥BC，PO∩AB=0，证明BC⊥平面ABPE；
（2）假设在线段PE上存在一点M，由题意及图形建立空间直角坐标系，写出个点的坐标，使DM∥平面PBC，利用向量的知识建立未知量的方程进，进而求解．

解答：（1）证明：连接DO，BO∥CD且BO=CD，又BC⊥AB，则四边形BODC是矩形，
因为PO⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PO⊥BC，∵PO∩AB=0，
∴BC⊥平面ABPE．
（2）解：存在满足条件的点M．由（1）可知，
OD、OB、OP两两垂直，分别以OD、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
设AO=1，则B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），E（0，-1，1），P（0，0，2），
则

PE

=(0，-1，-1)，

PB

=(0，2，-2)，

BC

=(2，0，0)．

PE

•

BC

=0，向量

PE

是平面PBC的一个法向量，
若在线段PE上存在一点M，使DM∥平面PBC，
设

PM

=λ

PE

，则

DM

=

DP

+

PM

=(-2，0，2)+λ(0，-1，-1)=(-2，-λ，2-λ)，
由

DM

•

PE

=0，
得λ-（2-λ）=0，
∴λ=1，即M点与线段PE的端点E重合．

点评：此题重点考查了建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的知识证明可线面垂直，考查空间向量的知识及方程的思想求解问题．