Question

如图，已知正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的各棱长都为a，P为A₁B上的点。

 

（1）试确定的值，使得PC⊥AB；

   （2）若，求二面角P―AB―C的大小；

   （3）在（2）条件下，求C₁到平面PAC的距离。

Answer 1

解法一：（1）当时，PC⊥AB

取AB的中点D′，连结CD′、PD′

∵△ABC为正三角形，  ∴CD′⊥AB。

当P为A₁B的中点时，PD′//A₁A， ∵A₁A⊥底面ABC， ∴PD′⊥底面ABC，

∴PC⊥AB 

（2）当时，过P作PD⊥AB于D，

如图所示，则PD⊥底在ABC

过D作DE⊥AC于E，连结PE，则PE⊥AC

∴∠DEP为二面角P―AC―B的平面角。

又∵PD//A₁A， ∴， ∴

∴

又∵

∴    ∴∠PED=60°

即二面角P―AC―B的大小为60° 

（3）设C₁到面PAC的距离为d，则

∵PD//A₁A   ∴PD//平面A₁C  ∴DE即为P点到平面A₁C的距离。

又PE=

∴

∴

解得 

即C₁到平面PAC的距离为 

解法二：以A为原点，AB为x轴，过A点与AB垂直的直线为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A―xyz，如图所示，则B（a，0，0），A₁（0，0，a），C，

设

（1）由

即， ∴P为A₁B的中点。

即 时，PC⊥AB。

（2）当

即

设平面PAC的一个法向量n=

则

即

取

又平面ABC的一个法向量为n₀=（0，0，1）

∴

∴二面角P―AC―B的大小为180°－120°=60°

（3）设C₁到平面PAC的距离为d，

则

即C₁到平面PAC的距离为