Question

已知函数f（x）=x²-ax+lnx+b（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y+2=0，求实数a，b的值；
（2）若f（x）在其定义域内单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：对函数求导，根据题意可得f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a
（1）由题意可得

k=f′(1)=3-a=-1 1+f(1)+2=0

可求a，b
（2）由题意可得f′(x)=2x-a+

1

x

≥0在x∈（0，+∞）恒成立即2x²-ax+1≥0，结合二次函数的性质可求a的范围；
另解由题意可得f′(x)=2x-a+

1

x

≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即a≤2x+

1

x

，利用基本不等式求解2x+

1

x

的最小值，进而可求a的范围．

解答：解：∵f（x）=x²-ax+lnx+b
∴f′(x)=2x-a+

1

x

…（2分）
∴f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a…（4分）
（1）∵函数f（x）在x=1处的切线方程为x+y+2=0
∴

k=f′(1)=3-a=-1 1+f(1)+2=0

解得：a=4，b=0．…（7分）
（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定义域为{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定义域内单调递增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允许个别点处等于零）   …（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即2x²-ax+1＞0
令g（x）=2x²-ax+1，则其对称轴方程是x=

a

4

．
当

a

4

≤0即a≤03时，g（x）在区间（0，+∞）上递增
∴g（x）在区间[0，+∞）上有g（x）_min=g（0）=1＞0，满足条件．…（11分）
当

a

4

＞0即a＞0时，g（x）在区间(0，

a

4

)上递减，g（x）在区间(

a

4

，+∞)上递增，
则g(x)min=g(

a

4

)=-

a2

8

+1≥0（a＞0）…（13分）
解得：0＜a≤2

2

综上所得，a≤2

2

…（14分）
另解：（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定义域为{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定义域内单调递增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允许个别点处取到等号）…（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即a＜2x+

1

x

(x＜0)（允许个别值处取到等号）…（10分）
令g(x)=2x+

1

x

(x＜0)，则a≤g（x）_min，…（11分）
因为g(x)=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，
当且仅当2x=

1

x

即x=

2

2

时取到等号．…（13分）
所以 g(x)min=2

2

，所以a≤2

2

…（14分）

点评：本题主要考查了导数的几何意义的 应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用及恒成立与函数的最值求解的相互转化关系的应用．