Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD₁的中点，AD=AA₁=a，AB=2a，
（Ⅰ）求证：MN∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求异面直线AE和CD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取CD的中点K，连结MK，NK，由线面平行的判定结合中位线定理，证出MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁，利用面面平行判定定理得到面MNK∥面ADD₁A₁，结合MN?面MNK，证出MN∥面ADD₁A₁；
（2）取A₁D₁的中点F，连结AF、EF，可得平行四边形CEFD₁中EF∥CD₁，得∠AEF（或其补角）为异面直线AE和CD₁所成的角．△AEF中算出AE、AF、EF的长，利用余弦定理算出cos∠AEF=

8 85

85

，即得异面直线AE和CD₁所成角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）取CD的中点K，连结MK，NK
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、K分别为AK、CD₁、CD的中点
∴MK∥AD，NK∥DD₁
∵MK、NK?面ADD₁A₁，AD?面ADD₁A₁，DD₁?面ADD₁A₁，
∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁
∵MK、NK是平面MNK内的相交直线
∴面MNK∥面ADD₁A₁
又∵MN?面MNK，∴MN∥面ADD₁A₁；
（Ⅱ）取A₁D₁的中点F，连结AF、EF，
则D1F

∥ .

.

CE，从而四边形CEFD₁为平行四边形，
∴EF∥CD₁，可得∠AEF（或其补角）为异面直线AE和CD₁所成的角 
在△AEF中，可得
AF=

5 a

2

，AE=

17 a

2

，EF=CD1=

5

a 
由余弦定理，得
cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=

8 85

85

 
∴异面直线AE和CD₁所成角的余弦值为

8 85

85

．

点评：本题给出长方体中，求证线面平行并求异面直线所成的角．着重考查了线面平行、面面平行的判定与性质，考查了异面直线所成角的定义和余弦定理等知识，属于中档题．