题目内容
设实数x，y满足约束条件
，若目标函数z=
+
(a＞0，b＞0)的最大值为1，则
的最小值为
|
| x |
| a |
| y |
| b |
| a+b |
3
3
．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求a+b的最值，进而求
的最小值．
| a+b |
解答：解：由z=
+
(a＞0，b＞0)得y=-
x+bz，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-
x+bz的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-
x+bz，由图象可知当y=-
x+bz经过点B时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由
，解得
，即B（1，4）．
此时z=
+
=1，
则a+b=（a+b）（
+
）=5+
+
≥5+2
=5+2×2=9，
当且仅当
=
，即b=2a时取=号，
故a+b的最小值为9，即
的最小值为
=3，
故答案为：3．
| x |
| a |
| y |
| b |
| b |
| a |
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-
| b |
| a |
平移直线y=-
| b |
| a |
| b |
| a |
直线的截距最大，此时z也最大．
由
|
|
此时z=
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
则a+b=（a+b）（
| 1 |
| a |
| 4 |
| b |
| b |
| a |
| 4a |
| b |
|
当且仅当
| b |
| a |
| 4a |
| b |
故a+b的最小值为9，即
| a+b |
| 9 |
故答案为：3．
点评：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
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