Question

【题目】已知空间几何体中， 与均为边长为2的等边三角形， 为腰长为3的等腰三角形，平面平面，平面平面．

（1）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；

（2）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）取中点，取中点，取中点，则根据等腰三角形性质得，由面面垂直性质定理得平面，同理可得平面，即得，由三角形中位线性质得，因此可得面面平行，即得结论，（2）取中点，由面面垂直性质定理可得平面，再根据锥体体积公式求体积.

试题解析：（1）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求．

证明：取中点，连结，

∵为腰长为的等腰三角形， 为中点，

∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，

同理，可证平面，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

又， 分别为， 中点，

∴，

∵平面， 平面，

∴平面．

又， 平面， 平面，

∴平面平面，

又平面，∴平面．

（2）连结，取中点，连结，则，

由（1）可知平面，

所以点到平面的距离与点到平面的距离相等．

又是边长为的等边三角形，∴，

又平面平面，平面平面， 平面，

∴平面，∴平面，

∴，又为中点，∴，

又， ，∴．

∴ ．

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.