Question

已知函数，，
⑴求函数的单调区间；
⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点

Answer 1

（1）当时，为单调增区间，当时，为单调减区间， 为单调增区间．
（2）
（3）在第二问的基础上，根据函数的单调性以及导数的几何意义来证明。

试题分析：（1）因为，
①若，则，在上为增函数，2分 ②若，令，得，
当时，；当时，．
所以为单调减区间，为单调增区间． 综上可得，当时，为单调增区间，
当时，为单调减区间， 为单调增区间．  4分
（2）时，，
，  5分
在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，
由得，
（i），，满足题意；…… 6分
（ii）时，，即；… 7分
（iii）时，，得，故； 综上得：在上有且只有一个极值点时，． ………8分注：本题也可分离变量求得．
（3）证明：由（1）可知：
（i）若，则，在上为单调增函数，
所以直线与 的图象不可能有两个切点，不合题意． 9分
（ⅱ）若，在处取得极值．
若，时，由图象知不可能有两个切点．10分
故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），
则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．，，
设切点分别为，则，且
，，，
即   ① ,    ② ,   ③ ,
①-②得：，
由③中的代入上式可得：，即，12分
令，则，令，因为，，故存在，使得，
即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．14分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于难度题。