Question

已知函数f（x）=ax²+1nx（a∈R）．
（I）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（II）如果在公共定义域D上的函数g（x），f₁（x），f₂（x）满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x）、f₂（x）的“活动函数”，已知函数，，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x）、f₂（x）的“活动函数”，求实数a的取范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）当时，函数f（x）=x²+1nx，定义域为（0，+∞），确定f（x）在区间[1，e]上单调增，由此可得结论；
（II）由题意，＜0且＞0，在区间（1，+∞）上恒成立，分别确定函数的最小与最大，即可求得a的取值范围．
解答：解：（I）当时，函数f（x）=x²+1nx，定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=x+＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数在（0，+∞）上单调增
∴f（x）在区间[1，e]上单调增
∵f（1）=，f（e）=
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为和最小值为；
（II）由题意，＜0且＞0，在区间（1，+∞）上恒成立
令（x＞1），则g′（x）=-，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调减
∵g（1）=+2a，∴+2a≤0，∴a≤；
令h（x）=f₂（x）-f（x）=，则h′（x）=，
又由x∈（1，+∞），且a≤，分析易得h′（x）=＜0，
即h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h（x）_max=h（1），
只要使h（1）≤0即可，即a--2a≤0，解可得，a≥-，
综合可得，-≤a≤．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．