Question

正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为（　　）

• A．16(12-6

  3

  )π
• B．18π
• C．36π
• D．64(6-4

  2

  )π

Answer 1

分析：如图所示：设正四面体的棱长等于a，球的半径等于r，先求出BH的值，用勾股定理求出AH，再由AH=4求出a的值，Rt△BOH中，由勾股定理求得r的值，代入球的表面积公式求出球的表面积．

解答：解：如图所示：设正四面体的棱长等于a，球的半径等于r，作AH垂直于平面BCD，H为垂足．
则BH=

2

3

•BD=

2

3

•

3

2

a=

3

3

a，故AH=

AB2-BH2

=

a2-( 3 a 3 )2

=

6

3

a．
再由AH=4，可得

6

3

a=4，∴a=

12

6

．
Rt△BOH中，由勾股定理可得 r2= (4-r)2+(

3

3

a)2，解得r=3．
故球的表面积为4πr²=36π，
故选C．

点评：本题主要考查球的内接正四面体的性质，求球的表面积的方法，体现了数形结合的数学思想．