Question

对于任意的平面向量，定义新运算⊕：．若为平面向量，k∈R，则下列运算性质一定成立的所有序号是    ．
①=；    ②；    ③
④；     ⑤．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，设向量，=（m，n），进而分析所给的命题：对于①，计算⊕与⊕，分析可得①正确，对于②，分别计算（k）⊕与⊕（k），分析即可得②错误；对于③，先计算⊕，由向量的坐标运算可得k（⊕），同理可得（k）⊕（k），分析可得③错误；对于④，先计算⊕，进而可得⊕（⊕），同理计算可得（⊕）⊕=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），分析可得④正确；对于⑤，由向量的坐标运算可得+，进而可得⊕（+），结合题意，计算可得⊕、⊕，由向量的坐标运算可得⊕+⊕，分析可得⑤正确；综合可得答案．
解答：解：根据题意，设向量，=（m，n），
分析命题：
对于①，⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），⊕=（x₂+x₁，y₂y₁），则⊕=⊕，则①正确；
对于②，（k）⊕=（kx₁+x₂，ky₁y₂），而⊕（k）=（x₁+kx₂，ky₁y₂），有（k）⊕≠⊕（k），则②错误；
对于③，⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），k（⊕）=k（x₁+x₂，y₁y₂）=（kx₁+kx₂，ky₁y₂），而（k）⊕（k）=（kx₁+kx₂，k²y₁y₂），有k（⊕）≠（k）⊕（k），③错误；
对于④，⊕=（m+x₂，ny₂），⊕（⊕）=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），而⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），（⊕）⊕=（m+x₁+x₂，ny₁y₂），有⊕（⊕）=（⊕）⊕，④正确；
对于⑤，+=（m+x₂，n+y₂），⊕（+）=（m+x₁+x₂，y₁n+y₁y₂），而⊕=（x₁+x₂，y₁y₂），⊕=（m+x₂，ny₂），⊕+⊕=（2m+x₁+x₂，y₁y₂+ny₂），⑤正确；
即①④正确；
故答案为①④．
点评：本题是新定义的题型，考查向量数量积的坐标运算，关键是根据题意，套用题干中的新运算“⊕”．