Question

如图所示,四边形ABCD为正方形,?SA=SB=SC=SD,P是棱SC上的点,M、N分别是棱SB、SD上的点,SP∶PC=1∶2,SN∶ND=2∶1,SM∶MB=2∶1.求证:SA∥平面PMN.

Answer 1

证明:如图,取SC的中点E,连结AC交BD于O,连结OE.

∵在△CSA中,O为AC中点,E为SC中点,

∴OE∥SA.

设SO∩MN=F,连结PF.

又∵SN∶ND=2∶1,SM∶MB=2∶1,

∴在△SBD中,MN∥BD.

∴SF∶FO=SN∶ND=2∶1.

又∵SP∶PC=1∶2,E为SC中点,

∴SP∶PE=2∶1.∴SP∶PE=SF∶FO.

∴在△SOE中,PF∥OE.∴PF∥SA.

又SA?平面PMN,PF平面PMN,

∴SA∥平面PMN.