题目内容

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $数学公式$
（1）求 $数学公式$ 的值；
（2）若b=2，△ABC的面积为 $数学公式$ ，求a的值．

解：（1）由正弦定理得：3（a²+c²-b²）tanB=4 $\text{[math]}$ ac，
∴ $\text{[math]}$ tanB= $\text{[math]}$ ，即cosB•tanB= $\text{[math]}$ ，
∴sinB= $\text{[math]}$ …（4分）
又△ABC为锐角三角形，
∴cosB= $\text{[math]}$ ．
又tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …（8分）
（2）∵S_△ABC= $\text{[math]}$ acsinB= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ac= $\text{[math]}$ ，
∴ac=3（1）
又b=2，由余弦定理得：a²+c²- $\text{[math]}$ =4，
∴a²+c²=6（2）
由（1）（2）解得：a= $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（1）利用正弦定理将已知条件中的角的正弦转化为该角所对的边，可求得sinB，继而可求得cosB，从而可求得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的值；
（2）利用三角形的面积公式与余弦定理即可求得a的值．
点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查转化思想与方程思想，考查运算能力，属于中档题．