Question

如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中点E，连接CE，根据已知中底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4，易得四边形AECD为正方形，可证得BC⊥AC，由线面垂直的性质证得PA⊥BC，由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，进而答案．
（II）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．求出平面PAC的一个法向量和PB的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=2

2

，
取AB中点E，连接CE，
则四边形AECD为正方形，
∴AE=CE=2，
又BE=

1

2

AB=2，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．
解：（Ⅱ）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的坐标系．则P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），

BP

=(0，-4，2)，

BC

=(2，-2，0)
由（Ⅰ）知

BC

即为平面PAC的一个法向量，
∴cos＜

BC

，

BP

＞=

BC • BP

|BC || BP |

=

10

5

，
即PB与平面PAC所成角的正弦值为

10

5

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面垂直的性质，线面垂直的判定定理，解答（I）的关键是熟练掌握空间线面垂直与线线垂直的转换，解答（II）的关键是建立空间坐标系，将空间线面夹角转化为向量夹角问题．