Question

【题目】已知函数与的图象关于直线对称.

（1）不等式对任意恒成立，求实数的最大值；

（2）设在内的实根为， ，若在区间上存在，证明： .

Answer 1

【答案】（1）1（2）见解析

【解析】试题分析:（1）不等式恒成立问题，一般利用变量分离，转化为对应函数最值问题，即的最小值，再利用导数求出函数的最小值，即得，因此实数的最大值为.（2）先根据函数与的图象关于直线对称，求出，再由在内的实根为，得等量关系，利用导数研究函数单调性：在上单调递增；在上单调递增减，因此， ， 为其极大值点，根据极点偏移方法证明：要证： ，即证： ，只要证，即证，构造函数，其中.利用导数可得 在上单调递增，即得

试题解析：（1）由，所以，

设，∴.

由，∴， 在上单调递增；

，∴， 在上单调递减，所以，即，所以实数的最大值为.

（2）设为函数图象上任意一点，

则点为函数图象上的点，所以，所以，

当时， ， ，因而在上单调递增；

当时， ， ，因而在上单调递增减，

又，则， ，

显然当时， .

要证： ，即证： ，而在上单调递增减，

故可证，又由，即证，

即，

记，其中.

.

设,当时， ； 时， ，

故.

而，故，而，从而，

因此当，即单调递增.

从而当时， ，即，故得证.