Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=60°．
（1）求证：平面ADB⊥平面BDC；
（2）设E为BC的中点，求直线AE一平面ABD所成角的正弦值；
（3）设BD=1，求点D到面ABC的距离．

Answer 1

分析：（1）注意折叠前后的不变关系，当△ADB折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，从而利用线面垂直的判定定理可证明AD⊥平面BDC，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
（2）以D为坐标原点，以DB、DA所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，设BD=1，则先写出相关点的坐标和相关向量的坐标，再求平面ABD的法向量，利用夹角公式计算

AE

与法向量的夹角的余弦值，最后利用线面角的正弦值即为线线角的余弦值的绝对值，即可得所求；
（3）先求平面ABC的法向量，再利用点到面的距离公式，即斜线DB的方向向量在平面法向量上的投影的长度，即可计算所求距离

解答：解：（1）证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ADB折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ABD，
∴平面ADB⊥平面BDC
（2）如图：以D为坐标原点，以DB、DA所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系，设BD=1
易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（

3

2

，

3 3

2

，0），A（0，0，

3

），E（

5

4

，

3 3

4

，0），

AE

=（

5

4

，

3 3

4

，-

3

），
取平面ABD的法向量为

n

=（0，1，0）
∴cos＜

AE

，

n

＞=

AE • n

| AE |•| n |

=

3 3 4

5 2

=

3 3

10

设直线AE与平面ABD所成角为θ，则sinθ=

3 3

10

∴直线AE与平面ABD所成角的正弦值为

3 3

10

（3）由（2）知，

BC

=（

1

2

，

3 3

2

，0），

BA

=（-1，0，

3

），设

m

=（x，y，z）为平面ABC的法向量，
则

m • BC = 1 2 x+ 3 2 y=0 m • BA =-x+ 3 z=0

，取

m

=（3

3

，-1，3）

则D点到面ABC的距离d=

| DB • m |

| m |

=

3 3

37

=

3 111

37

点评：本题综合考查了立体几何中线面垂直、面面垂直的位置关系及其判定定理，利用空间直角坐标系和空间向量求空间线面角、点到面的距离的方法，属中档题