Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD₁的中点．
（1）求二面角B₁-MN-B的正切值；
（2）证明：PB⊥平面B₁MN；
（3）画出该正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形连成一个长方形”的条件．

Answer 1

分析：（1）要求二面角B₁-MN-B的正切值，我们要先找出二面角的平面角，再构造三角形，解三角形求出其正切值．
（2）要证明PB⊥平面B₁MN，我们要在平面内找到两条与PB垂直的相交直线，分析题意可知B₁M，B₁N满足要求，进而可以转化为证明线线垂直．
（3）由正方体12种展开图，选其中“1-4-1”的情况，再标识出P点即可．

解答：解：（1）连接BD交MN于F，则BF⊥MN，连接B₁F．∵B₁B⊥平面ABCD，
∴B₁B⊥MN．
又∵BD⊥MN
∴MN⊥平面B₁BF
∴MN⊥B₁F
∴∠B₁FB为二面角B₁-MN-B的平面角．
在Rt△B₁BF中，B₁B=1，BF=

2

4

∴tan∠B₁FB=2

2

（2）过点P作PE⊥AA₁于E，
则PE⊥平面ABB₁A₁，
连接BE．由平面几何知识知，B₁M⊥BE．
∴PB⊥B₁M
同理，PB⊥B₁N
又∵B₁M∩B₁N=B₁
∴PB⊥平面B₁MN．
（3）符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种情况之一．

点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解．