题目内容
经过原点作圆x2＋y2＋2x－4y＋4=0的割线，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
解法一:设弦AB的中点M的坐标为(x，y).
由x2＋y2＋2x－4y＋4=0得(x＋1)2＋(y－2)2=1.
设圆心为C，则C(－1，2).
连结CM，则CM⊥OM.∴kCM·kOM=－1.
当x≠0且x≠－1时，有
·
=－1.
化简得x2＋y2＋x－2y=0.
当x=0时，点M不存在.
当x=－1时，点M与点C重合，
∴M(－1，2)适合方程x2＋y2＋x－2y=0.
∵点M在圆内，
∴点M的轨迹为圆x2＋y2＋2x－4y＋4=0内的部分.
由
得x1=－
，x2=0.
∴－
＜x＜0.
故弦AB的中点M的轨迹方程是x2＋y2＋x－2y=0(－
＜x＜0).
解法二:设弦AB的中点M的坐标为(x，y).
由x2＋y2＋2x－4y＋4=0得圆心C的坐标为(－1，2)，连结CM，则CM⊥OM.
∴点M在以OC为直径的圆上.
∵OC的中点坐标为(－
，1)，
|OC|=
=
,
∴点M的轨迹方程为(x＋
)2＋(y－1)2=
，即x2＋y2＋x－2y=0.
由
得x1=－
，x2=0.
∴－
＜x＜0.
故弦AB的中点M的轨迹方程是x2＋y2＋x－2y=0(－
＜x＜0).
练习册系列答案
相关题目
如图，抛物线M：y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．