Question

已知圆C₁的方程为x²+（y-2）²=1，定直线l的方程为y=-1．动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹M的方程；
（ II）直线l′与轨迹M相切于第一象限的点P，过点P作直线l'的垂线恰好经过点A（0，6），并交轨迹M于异于点P的点Q，记S为△POQ（O为坐标原点）的面积，求S的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），动圆半径为R，利用动圆C与圆C₁外切，且与直线l相切，可建立方程，化简，即可得到动圆圆心C的轨迹M的方程；
（ II）确定点P坐标，直线PQ的方程与抛物线方程联立，求得点Q的坐标，从而可求S的值．

解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心C的坐标为（x，y），动圆半径为R，
则|CC1|=

x2+(y-2)2

=R+1，且|y+1|=R…（2分）
可得 

x2+(y-2)2

=|y+1|+1…（3分）
由于圆C₁在直线l的上方，所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方，所以有y+1＞0，
∴

x2+(y-2)2

=y+2，整理得x²=8y，即为动圆圆心C的轨迹M的方程…（5分）
（ II）如图示，设点P的坐标为(x0，

x02

8

)，则y=

x2

8

，y′=

1

4

x，kl=

x0

4

，…（6分）
k_PQ=-

4

x0

，所以直线PQ的方程为y=-

4

x0

x+6…（8分）
又kPQ=

x02 8 -6

x0

，
∴

x02 8 -6

x0

=-

4

x0

，x02=16．
∵点P在第一象限，∴x₀=4，--（9分）
点P坐标为（4，2），直线PQ的方程为y=-x+6．--------------（10分）
联立

y=-x+6 x2=8y

得x²+8x-48=0，解得x=-12或4，
∴点Q的坐标为（-12，18）．
所以S=

1

2

|OA||xP-xQ|=48---------（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查曲线的切线，考查三角形的面积，考查直线与抛物线的位置关系，确定P、Q的坐标是关键．