Question

（2007•深圳二模）如图，已知点C（-2，0），直线l₀：x=-4与x轴交于点A，动点P到直线l₀的距离为d，且d=

2

PC．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l交轨迹于M、N两点，且CN⊥CN，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），由d=

2

PC，知x+4=

2

•

(x+2)2+y2

，由此能求出点p的轨迹方程．
（Ⅱ）A（-4，0），设l：y=k（x+4），联立

y=k(x+4) x2 8 + y2 4 =1

⇒x2+2k2(x+4)2=8，由△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，得：k2＜

1

2

．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-16k2

1+2k2

， x1•x2=

32k2-8

1+2k2

，由此能求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），
∵d=

2

PC，
∴x+4=

2

•

(x+2)2+y2

…（3分）
平方整理得：x²+2y²=8，
∴点p的轨迹方程为

x2

8

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）A（-4，0），设l：y=k（x+4）
联立

y=k(x+4) x2 8 + y2 4 =1

⇒x2+2k2(x+4)2=8
即（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0…（7分）
△=（16k²）²-4（1+2k²）（32k²-8）＞0，
∴8k⁴-（1+2k²）（4k²-1）＞0，
化简得：k2＜

1

2

…①
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

-16k2

1+2k2

， x1•x2=

32k2-8

1+2k2

，…（9分）
∵

CM

=(x1+2， y1)， 

CN

=(x2+2， y2)，又CM⊥CN，
∴

CM

•

CN

=0，
∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0，
即（x₁+2）（x₂+2）+k²（x₁+4）（x₂+4）=0，
∴（1+k²）x₁x₂+2（1+2k²）（x₂+x₂）+4（1+4k²）=0…（11分）
∴(1+k2)•

32k2-8

1+2k2

+2(1+2k2)•

-16k2

1+2k2

+4(1+4k2)=0
化简得：k2=

1

4

符合①…（13分）
∴直线l的方程是：y=

1

2

(x+4)或y=-

1

2

(x+4)…（14分）

点评：本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线和椭圆位置关系的综合运用．