Question

【题目】设椭圆的左右焦点分别为、，椭圆的离心率为，为椭圆上任意一点，的最大面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于、两点，连接、，若的内切圆面积为，则求直线方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或或或．

【解析】

（1）面积最大值为，由离心率，结合，即可求出椭圆方程；

（2）设，由已知可得内切圆的半径，以及周长，求出的面积，且等于，求出，设直线方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，结合根与系数关系，即可求解.

解：（1）当为上下顶点时，的面积最大，

所以．又∵，∴，

解得，，，椭圆方程为．

（2）∵内切圆的面积为，∴内切圆的半径为．

∵，∴．

设，则联立直线方程与椭圆方程，

得，

则，，

∴，

∴或，则或．

∴直线方程为或

或或．