Question

设函数f（x）=x-

a

x

（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若a=-9，试证明函数f（x）在[3，+∞]是单调递增函数；
（3）若不等式f（x）≥1在x∈（0，2]上恒成立，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由（x）=x-

a

x

的定义域{x|x≠0}关于原点对称，f（-x）=-x+

a

x

=-f（x），能够判断函数f（x）的奇偶性．
（2）设3≤x₁≤x₂，推论出f（x₁）-f（x₂）＜0，由此能够得到函数f（x）在[3，+∞）上是增函数．
（3）由x∈（0，2]，知f（x）≥1等价于x²-x+a≥0，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x-

a

x

的定义域{x|x≠0}关于原点对称，
f（-x）=-x+

a

x

=-f（x），
∴函数f（x）=x-

a

x

是奇函数．
（2）∵a=-9，∴f（x）=x-

9

x

，
设3≤x₁≤x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁-x₂+

9

x1

-

9

x2

=（x₁-x₂）•

x1x2-9

x1x2

，
∵3≤x₁≤x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-9＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴函数f（x）在[3，+∞）上是增函数．
（3）∵x∈（0，2]，
∴f（x）≥1等价于x²-x+a≥0，
∵y=x²-x-a在x=

1

2

处取得最小值

1

4

-

1

2

-a≥0，
∴a≤-

1

4

．
故实数a的取值范围是（-∞，-

1

4

]．

点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．