Question

已知函数f（x）=x²（x-t），t＞0．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（II）设函数y=f（x）在点P（x，y）处的切线的斜率为k，当x∈（0，1]时，恒成立，求t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，根据导数的正负可得函数的单调区间；
（II）当x∈（0，1]时，恒成立，等价于x∈（0，1]时，恒成立，求出右边函数的最值，即可求得结论．
解答：解：（I）求导函数可得f′（x）=x（3x-2t）
令f′（x）＞0，∵t＞0，∴x＜0或x＞；
令f′（x）＜0，∵t＞0，∴0＜x＜；
∴函数的单调增区间为（-∞，0），（，+∞）；单调减区间为（0，）；
（II）∵当x∈（0，1]时，恒成立，
∴x∈（0，1]时，恒成立
∵≥=（当且仅当x=时取等号）
∴2t≤，∴t≤，
∴t的最大值为．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．