Question

设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由；
（3）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）函数的递增区间是；减区间是；
（2）存在整数，且当时，不等式在区间上恒成立；
（3）实数的取值范围是.

试题分析：（1）先求出函数的定义域，然后求出导数，利用导数求出函数的增区间与减区间；（2）利用参数分离法将问题转化为与在区间上同时恒成立，求出的取值范围，最终确定整数的值；（3）构造新函数，并利用导数确定函数在区间上的单调性，利用极值与端点值的将问题“关于的方程在上恰有两个相异实根”进行等价转化，列出有关参数的不等式组，从而求出参数的取值范围.
试题解析：（1）由得函数的定义域为，
。                  2分
由得由
函数的递增区间是；减区间是；          4分
（2）由（1）知，在上递减，在上递增；
                           5分
又且
时，                 7分
不等式恒成立，
即
是整数，
存在整数，使不等式恒成立        9分
（3）由得
令则 
由
在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增             10分
方程在[0,2]上恰有两个相异实根
函数在和上各有一个零点，

实数m的取值范围是            14分