Question

（本小题满分12分）

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,,现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；

（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．

Answer 1

解：（1）证明：在图甲中∵且 ∴ ,

即--------------------------------------------------------------------------------2分

在图乙中，∵平面ABD平面BDC ， 且平面ABD平面BDC＝BD

∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．------------------------------------------4分

又，∴DC⊥BC,且

∴DC平面ABC．---------------------------------------6分

（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点

∴EF//CD，又由（1）知，DC平面ABC，

∴EF⊥平面ABC，--------------------------------------------7分

∴-------------------------8分

在图甲中，∵, ∴,

由得 ,--------------------------10分

∴　 ∴

∴-------------------------------------------12分