Question

设正三棱锥P—ABC的底面边长为a，侧棱长为2a，过A作与PB、PC分别交于D、E的截面．

(1)求截面三角形ADE的周长的最小值；

(2)求截面三角形ADE周长最小时的截面面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图甲所示，将三棱锥沿PA剪开，展开摊平在一个平面上，显然△ADE的周长l＝AD＋DE＋EA′≥AA′，则当AD、DE、EA′在一条直线上时，对应的截面△ADE的周长最短，则A、A′两点的连线段AA′的长度是△ADE周长的最小值． 　　由题意，过P作PM⊥BC，则M为BC的中点，而正三棱锥三侧面均为三个全等的等腰三角形，则在图乙中，正三棱锥的侧面展开图是一个关于PM对称的轴对称图形，则AD＝A′E，且有AA′⊥PM，又PM⊥BC． 　　∴AA′∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴AD＝EA′＝AB＝a，∴△ABD∽△PBC． 　　∴＝，∴BD＝·a＝，∴PD＝2a－＝，又DE∥BC，∴＝，∴DE＝·a＝． 　　故截面△ADE周长的最小值为AD＋DE＋EA′＝a＋＋a＝a． 　　(2)∵△ADE为等腰三角形，又AD＝A′E＝a，DE＝． 　　∴DE底边上的高h＝＝a 　　∴S△ADE＝h·DE＝×a·＝a2