题目内容

已知函数f（x）=asinx-x+b（a，b均为正常数）．
（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，π]上的单调减区间；
（2）设函数在 $数学公式$ 处有极值．
①对于一切 $数学公式$ ，不等式 $数学公式$ 恒成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间 $数学公式$ 上是单调增函数，求实数m的取值范围．

解：（1）a=2时，函数f（x）=2sinx-x+b，求导函数可得：f′（x）=2cosx-1
令f′（x）＜0，可得cosx＜ $\text{[math]}$
∵x∈[0，π]，∴ $\text{[math]}$
∴函数的单调减区间为 $\text{[math]}$
（2）f′（x）=acosx-1，由已知得： $\text{[math]}$ ，所以a=2，所以f（x）=2sinx-x+b
①不等式 $\text{[math]}$ 可化为：sinx-cosx-x＞-b
记函数g（x）=sinx-cosx-x， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，g′（x）＞0
函数在 $\text{[math]}$ 上是增函数，最小值为g（0）=-1
所以b＞1，
所以b的取值范围是（1，+∞）
②由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，所以m＞0
令f′（x）=2cosx-1＞0，可得2kπ- $\text{[math]}$ ＜x＜2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈Z
∵函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上是单调增函数，
∴ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$
∴6k≤m≤3k+1
∵m＞0，∴3k+1＞0，6k≤3k+1
∴k=0
∴0＜m≤1
分析：（1）a=2时，函数f（x）=2sinx-x+b，求导函数可得：f′（x）=2cosx-1，令f′（x）＜0，结合x∈[0，π]，可得函数的单调减区间；
（2）f′（x）=acosx-1，利用函数在 $\text{[math]}$ 处有极值，可得f（x）=2sinx-x+b
①不等式 $\text{[math]}$ 可化为：sinx-cosx-x＞-b，构造函数g（x）=sinx-cosx-x， $\text{[math]}$ ，求出函数的最小值，即可求得b的取值范围；
②由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，所以m＞0，求出的单调增区间，利用函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上是单调增函数，即可求得m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值、单调区间，考查分离参数法求解恒成立问题，正确运用导数是关键．