Question

一动点P到两定点F₁（-

2

，-

2

）、F₂（

2

，

2

）的距离之差的绝对值等于2

2

，求点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：根据题意，得到点P的轨迹是以x、y轴为渐近线的双曲线．设双曲线的方程为y=

k

x

，利用|PF₁|-|PF₂|=2

2

建立方程并化简整理，可得k=1，得到点P的轨迹方程是y=

1

x

．

解答：解：到两定点F₁、F₂的距离之差的绝对值等于2

2

的点P的轨迹，是以F₁、F₂为焦点的双曲线
焦距为|F₁F₂|=2c=4，2a=2

2

，所以双曲线的离心率e=

2

，得双曲线的a=b，两条渐近线互相垂直
∵F₁（-

2

，-

2

）、F₂（

2

，

2

）在直线y=x上，
∴点P的轨迹是以x、y轴为渐近线的双曲线，可设双曲线的方程为y=

k

x

，（k＞0），
则|PF₁|-|PF₂|=

(x+ 2 )2+( k x + 2 )2

 -

(x- 2 )2+( k x - 2 )2

 =2

2

移项，两边平方得：(x+

2

)2+(

k

x

+

2

)2=(x-

2

)2+(

k

x

-

2

)2+4

2

(x- 2 )2+( k x - 2 )2

 +8
化简整理得：x+

k

x

-

2

=

(x- 2 )2+( k x - 2 )2

 ，
两边平方，比较系数可得k=1，所以点P的轨迹方程是y=

1

x

．

点评：本题给出焦点在直线y=x上的双曲线，要我们根据双曲线的定义求它的方程，着重考查了双曲线的定义和求轨迹方程的一般方法等知识，属于中档题．