Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|（a∈R）
（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）不等式即|x-1|+|x-4|≥5，等价于

x＜1 -2x+5≥5

，或

1≤x≤4 3≥5

，或 

x＞4 2x-5≥5

，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．
（Ⅱ）因为f（x）=|x-1|+|x-a|≥|a-1|，由题意可得|a-1|≥4，与偶此解得 a的值．

解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x-1|+|x-4|≥5，等价于
，

x＜1 -2x+5≥5

，或

1≤x≤4 3≥5

，或 

x＞4 2x-5≥5

．
解得：x≤0或 x≥5．
故不等式f（x）≥5的解集为 {x|x≤0，或 x≥5 }． …（5分）
（Ⅱ）因为f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|．（当x=1时等号成立）
所以：f（x）_min=|a-1|．…（8分）
由题意得：|a-1|≥4，解得  a≤-3，或a≥5． …（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．