题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ （a^x-a^-x）（a＞1）的反函数是f^-1（x），则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围是

A.
（0，1）
B.
（0， $数学公式$ ）
C.
（ $数学公式$ ，+∞）
D.
（-∞， $数学公式$ ）

C
分析：首先由函数f（x）求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将a^x看作整体解出，然后由f^-1（x）＞1构建不等式解出即可．
解答：由题意设y= $\text{[math]}$ （a^x-a^-x）整理化简得a^2x-2ya^x-1=0，
解得：ax=y± $\text{[math]}$
∵a^x＞0，∴ax=y+ $\text{[math]}$ ，
∴x=log_a（y+ $\text{[math]}$ ）
∴f^-1（x）=log_a（x+ $\text{[math]}$ ）
由使f^-1（x）＞1得log_a（x+ $\text{[math]}$ ）＞1
∵a＞1，∴x+ $\text{[math]}$ ＞a
由此解得：x＞ $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性．

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