Question

已知△ABC的两个顶点为B（-2，0），C（2，0），周长为12．
（1）求顶点A的轨迹G方程；
（2）若直线y=

1

2

x与点A的轨迹G交于M、N两点，求△BMN的面积．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
（2）由

x2  16 + y2 12 =1 y=  1 2 x

，解得M（2

3

，

3

），N（-2

3

，-

3

），故|MN|=

(4 3 )2 +(2 3 )2

=2

15

，由B（-2，0）到直线y=

1

2

x的距离d=

|-2-0|

5

=

2 5

5

，能求出△BMN的面积．

解答：解：（1）∵△ABC的两顶点B（-2，0），C（2，0），周长为12，∴BC=4，AB+AC=8，
∵8＞4，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
∵2a=8，2c=4，
所以椭圆的标准方程是

x2

16

+ 

y2

12

=1(y≠0)．
（2）由

x2  16 + y2 12 =1 y=  1 2 x

，得3x²+4（

1

2

x）²=48，
∴4x²=48，x²=12，
解得x1=2

3

， x2=-2

3

，
∴y1=

3

， y2=  -

3

，
∴M（2

3

，

3

），N（-2

3

，-

3

）
∴|MN|=

(4 3 )2 +(2 3 )2

=2

15

，
∵B（-2，0）到直线y=

1

2

x的距离d=

|-2-0|

5

=

2 5

5

，
∴△BMN的面积S=

1

2

×2

15

×

2 5

5

=2

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．