Question

已知△ABC的两个顶点为B（-2，0），C（2，0），周长为12．
（1）求顶点A的轨迹G方程；
（2）若直线与点A的轨迹G交于M、N两点，求△BMN的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．
（2）由，解得M（2，），N（-2，-），故=2，由B（-2，0）到直线的距离d=，能求出△BMN的面积．
解答：解：（1）∵△ABC的两顶点B（-2，0），C（2，0），周长为12，∴BC=4，AB+AC=8，
∵8＞4，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，
∵2a=8，2c=4，
所以椭圆的标准方程是．
（2）由，得3x²+4（）²=48，
∴4x²=48，x²=12，
解得，
∴，
∴M（2，），N（-2，-）
∴=2，
∵B（-2，0）到直线的距离d=，
∴△BMN的面积S==2．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．