Question

已知函数f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若k=2010，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

分析：对（1）要先对函数求导，然后分k为奇偶数讨论导函数大于和小于零时的自变量范围，由此即可获得解答；
对（2）利用k=2010先将方程化简，从而得到函数g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax有唯一的零点，进而将问题转化为函数的零点问题，然后利用导数知识分析单调性，从而结合

g(x2)=0 g′(x2)=0

求解即可．

解答：解：（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k•

2a

x

．
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

．
所以当x∈(0，

a

)时，f′（x）＜0，
当x∈（

a

，+∞）时，f′（x）＞0．
故当k是偶数时，f（x）在(0，

a

)上是减函数，
在（

a

，+∞）上是增函数．
（2）若k=2010，则f（x）=x²-2alnx（k∈N^*）．
记g（x）=f（x）-2ax=x²-2axlnx-2ax，
g′(x)=2x-

2a

x

-2a=

2

x

(x2-ax-a)，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g'（x）=0，得x²-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，
所以x 1=

a- a2+4a

2

＜0（舍去），
x 2=

a+ a2+4a

2

．
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）是单调递减函数；
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）上是单调递增函数．
当x=x₂时，g'（x₂）=0，g（x）_min=g（x₂）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x₂）=0．
则

g(x2)=0 g′(x2)=0

即

x22-2alnx2-2ax2=0 x22-ax 2-a=0

两式相减得alnx₂+ax₂-a=0，因为a＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*）．
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，从而解得a=

1

2

．

点评：本题考查的是函数与方程的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、分类讨论的思想以及求导的知识．综合应用性强，值得同学们体会反思．