题目内容

已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线为
l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．
（1）当l1与l2的夹角为60°，且△POF的面积为
3
2
时，求椭圆C的方程；
（2）当
FA
=λ
AP
时，求当λ取到最大值时椭圆的离心率．
（1）l1的斜率为-
b
a
，l2的斜率为
b
a
，由l1与l2的夹角为60°，
得|
b
a
+
b
a
1-(
b
a
)2
|=
3
，整理，得a=
3
b．①
由
y=
b
a
x
y=
a
b
(x-c).
，得P(
a2
c
，
ab
c
)．
由S△POF=
3
2
，得
1
2
•c•
ab
c
=
3
2
．
∴ab=
3
．②
由①②，解得a=
3
，b=1．
∴椭圆C方程为：
x2
3
+y2=1．
（2）由P(
a2
c
，
ab
c
)，F（c，0）及
FA
=λ
AP
，得A(
c+
λa2
c
1+λ
，
λab
c
1+λ
)．
将A点坐标代入椭圆方程，得
(c+
λa2
c
)2
(1+λ)2
+
(
λab
c
)2
(1+λ)2
=1．
整理，得λ2=
e2(1-e2)
2-e2
=-[(2-e2)+
2
2-e2
]+3≤3-2
2
，
∴λ的最大值为
2
-1，此时e=
2-
2
．
练习册系列答案
相关题目
已知F1，F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|
OP
|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
6
3
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
2
．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
已知F1，F2为椭圆x2+
y2
2
=1上的两个焦点，A，B是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2的面积的最大值为（　　）
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2
如图，椭圆的两顶点为A(
2
，0)，B（0，1），该椭圆的左右焦点分别是F1，F2．
（1）在线段AB上是否存在点C，使得CF1⊥CF2？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设过F1的直线交椭圆于P，Q两点，求△PQF2面积的最大值．
曲线y=x2上的点到直线2x+y+4=0的最短距离是（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5
某圆锥曲线有下列信息：
①曲线是轴对称图形，且两坐标轴都是对称轴；
②焦点在x轴上且焦点到坐标原点的距离为1；
③曲线与坐标轴的交点不是两个；
④曲线过点A（1，
3
2
）．
（1）判断该圆锥曲线的类型并求曲线的方程；
（2）点F是改圆锥曲线的焦点，点F′是F关于坐标原点O的对称点，点P为曲线上的动点，探求以|PF|以及|PF|•|PF′|的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，短轴长为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．

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