Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于球O，若AB=3，AA₁=2，则球O的体积为（　　）

• A． $\frac{4π}{3}$
• B． 16π
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，求出O'A，由球的截面的性质，求得半径OA，再由球的体积公式，计算即可得到．

解答 解：根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，
球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，
则O'A=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由球的截面的性质，可得，OA²=OO'²+O'A²，
则有OA=$\sqrt{OO{′}^{2}+O'{A}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2，
则球O的体积为$\frac{4}{3}$π•OA³=$\frac{32}{3}π$．
故选：C．

点评 本题考查球的截面的性质，考查球与正三棱柱的关系，考查球的体积运算，属于中档题．