题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，若f（x）= $数学公式$ ，
求：（Ⅰ）f（x）的最小正周期及 $数学公式$ 的值；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间．

解：向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
f（x）= $\text{[math]}$ =cos²x+sinxcosx
= $\text{[math]}$ （1+cos2x）+ $\text{[math]}$ sin2x
= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）f（x）的最小正周期为：T= $\text{[math]}$ =π，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（2× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）因为2k $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ，k∈Z，
$\text{[math]}$ ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间为： $\text{[math]}$ ，k∈Z．
分析：利用向量的数量积以及二倍角的三角函数结合两角和的正弦函数，化简函数的表达式，
（Ⅰ）利用正弦函数的周期公式直接求解f（x）的最小正周期，直接求解 $\text{[math]}$ 的值；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间求解函数f（x）的单调增区间．
点评：本题通过向量的数量积，三角函数的二倍角、两角和的三角函数化简函数的表达式，考查函数的基本性质，考查计算能力．