Question

16．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项的和为S_n，且对任意的n∈N^?，都有2S_n=a_n²+a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=a_n²+a_n，当n≥2时，$2{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，a_n＞0．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n，可得b_n=2ⁿ．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n=a_n²+a_n，∴当n=1时，2a₁=${a}_{1}^{2}$+a₁＞0，解得a₁=1．
当n≥2时，$2{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$，可得2a_n=a_n²+a_n-$（{a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}）$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，a_n＞0．
解得a_n-a_n-1=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）∵$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n+1=n+1，
$\frac{{b}_{1}}{2}$+$\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n，
∴$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=1．
∴b_n=2ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列通项公式的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．