Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），右准线l交x轴于点A，且

AF1

=2

AF2

．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦点坐标可求得c，进而根据

AF1

=2

AF2

求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．
（Ⅱ）先看当直线DE和直线MN与x轴垂直时，可求得四边形DMEN的面积；进而看直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE的直线方程与椭圆方程联立消去y，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），进而利用韦达定理可得x₁x₂和x₁+x₂，进而可表示出|DE|，同理可表示出|MN|进而可表示出四边形的面积，进而根据均值不等式求得四边形的面积的范围，则最大值和最小值可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意，|

F1F2

|=2c=2，∴A（a²，0），
∵

AF1

=2

AF2

∴F₂为AF₁的中点
∴a²=3，b²=2
即椭圆方程为

x2

3

+

y2

2

=1．

（Ⅱ）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=2

b2

a

=

4

3

，
此时|MN|=2a=2

3

，四边形DMEN的面积为

|DE|•|MN|

2

=4．
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积为

|DE|•|MN|

2

=4．
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，设DE：y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则

x1+x2= -6k2 2+3k2 x1x2= 3k2-6 2+3k2

所以，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 3 • k2+1

2+3k2

，
所以，|DE|=

k2+1

|x1-x2|=

4 3 (k2+1)

2+3k2

，
同理，|MN|=

4 3 ((- 1 k )2+1)

2+3(- 1 k )2

=

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

．
所以，四边形的面积S=

|DE|•|MN|

2

=

1

2

•

4 3 (k2+1)

2+3k2

•

4 3 ( 1 k2 +1)

2+ 3 k2

=

24(k2+ 1 k2 +2)

6(k2+ 1 k2 )+13

，
令u=k2+

1

k2

，得S=

24(2+u)

13+6u

=4-

4

13+6u

因为u=k2+

1

k2

≥2，
当k=±1时，u=2，S=

96

25

，且S是以u为自变量的增函数，
所以

96

25

≤S＜4．
综上可知，

96

25

≤S≤4．即四边形DMEN面积的最大值为4，最小值为

96

25

．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程问题．涉及了直线与椭圆的关系，考查了学生综合分析问题和基本运算的能力．