题目内容

△ABC的三个角A＜B＜C，且成等差数列，最大边为最小边的2倍，则三内角之比为
1：2：3
1：2：3
．
分析：根据三角形内角和，结合A、B、C成等差，算出B=
π
3
．再由正弦定理，将c=2a化成sinC=2sinA，即sin（A+B）=2sinA，化简整理得到tanA=
3
3
，可得A=
π
6
．由此即可得到三角形的三内角之比．
解答：解：∵A、B、C成等差数列，且A+B+C=π
∴B=
π
3
，
∵A＜B＜C，最大边为最小边的2倍，
∴c=2a，由正弦定理得sinC=2sinA
即sin（A+B）=2sinA，
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinA，即
1
2
sinA+
3
2
cosA=2sinA
化简得tanA=
3
3
，结合A为三角形内角，可得A=
π
6

∴C=π-（A+B）=
π
2
，可得A：B：C=1：2：3
故答案为：1：2：3
点评：本题给出三角形的三个内角成等差数列，在已知最大边为最小边的2倍情况下求三个内角的比值．着重考查了三角形内角和定理、正弦定理和三角恒等变换等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC的三个角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足a+b=4，a2+b2-ab=c2，求此三角形的最小周长．
已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，且a=2c=2．
（1）求
sinA+sinC
a+c
的值；
（2）求函数f(x)=
3
sin(x+B)-cos(x+B)在[0，
π
4
]上的最大值．
已知
a
=（cosx+sinx，sinx）．
b
=（cosx-sinx，2cosx），设f（x）=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）三角形ABC的三个角A，B，C所对边分别是a，b，c，且满足A=
π
3
，f（B）=1，
3
a+
2
b=10，求边c．
已知△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知△ABC周长为6，|
BC
|，|
CA
|，|
AB
|成等比数列．
求：
（1）∠B的取值范围；
（2）边b的取值范围；
（3）
BA
•
BC
的最小值．
设a，b，c分别是△ABC的三个角A，B，C所对的边，研究A=2B是a2=b（b+c）的什么条件？以下是某同学的解法：
由A=2B，得sinA=sin2B，即：sinA=2sinB•cosB⇒a=2bcosB
⇒a=2b•
a2+c2-b2
2ac
．变形得a2c=a2b+bc2-b3⇒a2（c-b）
=b（b+c）（c-b）
所以，b=c或a2=b（b+c）
由此可知：A=2B是a2=b（b+c）的必要非充分条件．
请你研究这位同学解法的正误，并结合自己的思考，可以得到“A=2B”是“a2=b（b+c）”的（　　）条件．

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